1."第八章 二次型
§8.1 二次型及其矩阵表示
§8.2 化二次型为标准形
§8.3 惯性定理
§8.4 正定二次型
" 2."一、n元二次型
二、非退化线性替换
三、矩阵的合同
§8.1 二次型及其矩阵表示
" 3."在解析几何中 4.
选择适当角度θ 5.逆时针旋转坐标轴
(标准方程)
中心与坐标原点重合的有心二次曲线
" 6."从代数观点看
作适当的非退化线性替换
只含平方项的多项式
二次齐次多项式
(标准形)
" 7."一、n元二次型
1、定义：设P为数域，
称为数域P上的一个n元二次型．
①
n个文字 的二次齐次多项式
" 8."注
2) 式① 也可写成
1) 为了计算和讨论的方便 9.式①中 　　 的系数
写成 　　
" 10."1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
②
2、二次型的矩阵表示
" 11." 则矩阵A称为二次型 的矩阵.
" 12."" 13."于是有
" 14."注
2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即
若 　且 　　　　，则
1）二次型的矩阵总是对称矩阵 15.即
（这表明在选定文字　　　　　下，二次型
完全由对称矩阵A决定.)
" 16."二、非退化线性替换
1、定义：
是两组文字 17.
，关系式
③
称为由　　　　　　　　　　　的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0 18.则称③为非退化线性替换.
" 19.".
0
它是非退化的.
∵系数行列式
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度　
即变换
" 20."2、线性替换的矩阵表示
则③可表示为X=CY　　　　　　　④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
注
1）③或④为非退化的
为可逆矩阵 .
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化线性替换　　　　　.
" 21."即，B为对称矩阵.
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
————
————
————
————
事实上，
是一个 　　　　　 二次型.
" 22."三、矩阵的合同
1）合同具有
对称性：
传递性:
即C1C2可逆.
反身性:
注:
　1、定义：设 　，若存在可逆矩阵
使 ，则称A与B合同.
" 23."3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.
2）合同矩阵具有相同的秩.
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
A与B合同.
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
进而，有:
C可逆
原二次型矩阵是合同的.
" 24."一、二次型的标准形
二、合同的变换法
§8.2 化二次型为标准形
" 25."二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
它的矩阵是对角阵
平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
?
" 26."证明：
对二次型变量个数n作归纳法.
假定对n－1元二次型结论成立.
一、二次型的标准形
过非退化线性替换化成平方和的形式.　
1、（定理1）数域P上任一二次型都可经
n=1时，
结论成立.
下面考虑n元二次型
" 27."" 28." 这里，
是一个.
的n－1元二次型.
配方法
" 29."它是非退化的，
且使
" 30."使它变成平方和
于是，非退化线性替换
由归纳假设，对 有非退化线性替换
" 31."就使 变成
2）
但至少有一个
不妨设
作非退化线性替换：
" 32."不为零.
由情形1）知，结论成立.
则
这是一个 的二次型，且 的系数
" 33."这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.
总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性
替换化成平方和的形式.
即
3）
由对称性，
" 34."2、二次型的标准形的定义
所变成的平方和形式
注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.
2）可应用配方法得到二次型的标准形.
二次型
经过非退化线性替换
的一个标准形.
称为
" 35."则
解：作非退化线性替换
例1、求
的标准形.
" 36."或
最后令
则
或
再令
" 37."所作的非退化线性替换是
即
则
" 38." 3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于
证：对A的级数作归纳法.
假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，
分四种情形讨论：
使C´AC为对角矩阵．
即　　　　 若 A´＝A ，则存在可逆矩阵
n＝1时，
为对角阵 39.结论成立.
设
一个对角矩阵.
" 40."这里
这里
A1为n－1级对称矩阵.
" 41."则
这里
是n－1级对称矩阵，
" 42."为对角矩阵.
由归纳假设，存在可逆矩阵G，使
为对角矩阵.
令
则
令
则C可逆，且
为对角矩阵.
" 43."其中
归结为情形1，结论成立.
令
，则
3)
但有一个
则
令
显然
2)　　　　 但有一个
" 44." 归结为情形1）.
则
4)
由对称性 45. 有
于是
为n－1级对称矩阵.
" 46."为对角矩阵.
为对角矩阵.
由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使
令　　　　　　则
" 47."例2　根据定理2，求例1中二次型的标准形.
情形3)
情形1)
令
解：
的矩阵为
" 48."情形1)
令
令
" 49."为对角矩阵.
" 50."作非退化线性替换X＝CY，
则
即得 　　　　　的标准形
" 51."一、复数域上的二次型的规范形
二、实数域上的二次型的规范形
§8.3 惯性定理
" 52."问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化
线性替换有关.
如：二次型
作非退化线性替换
得标准形
得标准形
" 53." 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.
而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.
∵若
作非退化线性替换
化为标准形
，则有
" 54."3. 问题：
如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
定义
二次型 的秩等于矩阵A的秩，
即秩 f ＝秩（A）.
" 55."、复数域上的二次型的规范形
复二次型的规范形的定义
标准形
再作非退化线性替换
设复二次型
经过非退化线性替换
可逆 56. 得
这里
" 57." 则
称之为复二次型
的规范形.
" 58."
注意：
①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.
②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.
2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一.
推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵
推论2.两个复对称矩阵A、B合同
" 59."二、实数域上的二次型的规范形
再作非退化线性替换
实二次型的规范形的定义
设实二次型
经过
可逆，得标准形
非退化线性替换
其中，
r = 秩 f
" 60."
则
称之为实二次型 的规范形.
" 61."① 实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0.
② 实二次型的规范形中平方项的系数中 1 的个数与－1的个数之和 = 秩　= 秩(A)是唯一确定的.
③ 规范形是唯一的.
注意
" 62." 定理4 任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.
证明：只证唯一性.
2、惯性定理
设实二次型
经过非退化线性替换
化成规范形
（1）
" 63."只需证
（2）
用反证法，设
由(1)、(2)，有
经过非退化线性替换
化成规范形
（3）
" 64."（4）
则G可逆，且有
考虑齐次线性方程组
（5）
" 65."方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为
所以（5）有非零解.
令
为（5）的非零解，
则有
而
不全为0.
将
代入（3）的左端，
得其值为
" 66."同理可证
，故
.
矛盾. 所以，
得
将其代入（3）的右端，得其值为
由
及
" 67."定义
实二次型
的规范形
中正平方项的个数 p 称为 的正惯性指数；
称为
的负惯性指数；
负平方项的个数
称为
的符号差.
它们的差
" 68."一、正定二次型
二、正定矩阵
三、n元实二次型的分类
§8.4 正定二次型
" 69."、正定二次型
则称f 为正定二次型.
如，二次型　
是正定的；
不是正定的．
但二次型　
一组不全为零的实数
都有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1、定义：实二次型
若对任意
" 70."2、正定性的判定
1）实二次型 正定
2）设实二次型
f 正定
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
则
" 71."经过非退化线性替换 X＝CY 化成
则，
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
任取一组不全为零的数 令
证明：设正定二次型
" 72."所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
又由于C可逆，
，所以
同理，若 正定，则 正定.
反之，实二次型
可经过非退化
不全为0.
即
线性替换
变到实二次型
" 73."秩 ＝n＝ （ 的正惯性指数）.
4）(定理5) n元实二次型
正定
证：设
经非退化线性替换
变成标准形
由2) 74. 正定
即， 的正惯性指数p＝n＝秩 .
" 75."规范形为
5）正定二次型　　　　　　 　的标准形为
" 76."二、正定矩阵
1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型
正定二次型的规范形为
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
2) 实对称矩阵A正定
1）实对称矩阵A正定    A与单位矩阵E合同.
A与E合同 77.即存在可逆矩阵C，使
可见，正定矩阵是可逆矩阵.
存在可逆矩阵C，使
" 78."3、正定矩阵的必要条件
1）实对称矩阵 正定
取
正定.
证：若A正定 ，则二次型
则
" 79."反之不然. 即，　　 　为对称矩阵，且
但A未必正定.　如
所以A不是正定的.　　　　　　　
注意
当　　　　　时，有　　　　　　　　
" 80."2) 实对称矩阵A正定
但 不是正定二次型.
如
注意
证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使　　　　　　　
从而
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A未必正定.　
" 81."
4、顺序主子式、主子式 、
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
设矩阵
称为A的第k阶顺序主子式.
" 82."3） k 级行列式
称为A的一个k 阶主子式.
即行指标与列指标相同的k阶子式
" 83."5、（定理6）
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
正定　
实二次型
证:必要性.设 正定，对每一个k
令
" 84." 是正定的，从而 正定.
对任意一不全为零的数　 有
充分性： 对n作数学归纳法.\t
n＝1时， 　 正定. 结论成立.
假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
" 85."又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式
由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使
令
则
也全大于零.
设
" 86."则
令
再令
则
" 87."由判定充要条件3). 知A正定，所以 正定.
再令
则有
两边取行列式，得
又　 >0 ， 　
即 　为正对角矩阵.
" 88."例、判定下面二次型是否正定.
其顺序主子式
正定.
解： 的矩阵
" 89."三、n元实二次型的分类
设n元二次型
若对任意一组不全为零的实数
都有
②　 ，则 称为半正定二次型.
③　 ，则 称为半负定二次型.
① 则 称为负定二次型.
　既不是半正定，也不是半负定，则 称为
1．定义
不定二次型.
" 90."1）实二次型 正定
负定；
实对称矩阵A正定 －A负定.
半负定；
2）实二次型 半正定
实对称矩阵A半正定 －A半负定.
2、判定
" 91."　存在 ，使 　
5、实二次型 f (x1 92.x2 93.… 94.xn)＝X´AX 半正定
A 与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵C，使
秩 f =秩(A)= p（正惯性指数）
A 的所有主子式全大于或等于零.
"